Pembuktian Trigonometri

Pembuktian Sudut rangkap

Pembuktian beberapa sudut rangkap yang ada di dalam materi Trigonometri:

1. Sudut Rangkap Sinus 

Sin 2α = 2 sin α cos α

Bukti:

Ingat sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika α = β

Maka sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

sin 2α = sin α cos α + cos α sin α     (karena perkalian bersifat komutatif)

sin 2α = sin α cos α + sin α cos α

sin 2α = 2 sin α cos α (Terbukti) 

2. Sudut Rangkap Cosinus

a. Bentuk Pertama

Cos 2α = (cos α)2 – (sin α)2

Bukti

Ingat : cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika α = β

Maka cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α

Cos 2α = (cos α)2 – (sin α)2 (karena perkalian suku yang sama)

b. Bentuk Kedua

Cos 2α = 1 – 2(sin α)2

Bukti

Ingat : cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika α = β

Maka cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α (karena perkalian yang sama)

Cos 2α = (cos α)2 – (sin α)2

Ingat :

(cos α)2 +(sin α)2 = 1

(cos α)2 = 1 - (sin α)2 .... (i)

Substitusikan persamaan (i)

Cos 2α = [1 - (sin α)2] – (sin α)2

Cos 2α = 1 - (sin α)2 – (sin α)2

Cos 2α = 1 - 2(sin α)2 (Terbukti)

c. Bentuk Ketiga

Cos 2α = 2(cos α)2 – 1

Bukti

Ingat : cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika α = β

Maka cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α (karena perkalian yang sama)

Cos 2α = (cos α)2 – (sin α)2

Ingat :

(cos α)2 +(sin α)2 = 1

(sin α)2 = 1 - (cos α)2 .... (ii)

Substitusikan persamaan (ii)

Cos 2α = (cos α)2 – [1 - (cos α)2]

Cos 2α = (cos α)2 – 1 +(cos α)2

Cos 2α = (cos α)2 +(cos α)2 – 1

Cos 2α = 2(cos α)2 – 1(Terbukti)

     3. Sudut Rangkap Tangen

Tan 2α  = 2 tan α ÷[1 – (tan α)2]

Bukti:

Ingat tan (α + β) = (tan α + tan β) ÷ (1 – tan α tan β) 

Jika α = β

Maka tan (α + α) = (tan α + tan α)÷ (1 – tan α tan α)

tan 2α = 2 tan α ÷[1 – (tan α)2]  (Terbukti)

Semoga bermanfaat!

Salam Matematika